„Tak jak na górze, tak i na dole; tak jak na dole, tak i na górze”

Zapewne dla większości osób sentencja ta jest znana, lecz czy jest wiadomym jakie jest jej źródło? Mianowicie pochodzi ona ze starożytnych nauk hermetycznych. Pierwotnie została spisana na tzw. Tablicy Szmaragdowej, której tłumaczenie na język angielski dokonał sir Izaak Newton. Z kolei hermetyczny traktat Kybalion tak rozwija owe prawo:

„To prawo obejmuje prawdę, iż istnieje zgodność pomiędzy prawami i zjawiskami na różnych płaszczyznach istnienia i życia. (…) Tak samo jak znajomość zasad geometrii pozwala człowiekowi na mierzenie odległych słońc i ich ruchów, nie ruszając się z obserwatorium, tak samo znajomość prawa zgodności pozwala człowiekowi inteligentnie wnioskować- od tego co znane, do tego co nieznane.”

Najłatwiej zgodność tą można porównać do matrioszki- mniejsza figura umieszczona w tak samo wyglądającej ale większej. Zasada ta ma jednakże zastosowanie do fizycznych obiektów występujących w przyrodzie oraz zjawisk zachodzących na płaszczyznach umysłowych i społecznych. Można powiedzieć, iż jeśli występuje pewien problem czy konflikt, to będzie się on przejawiał zarówno na poziomie mikro jak i makro- tak lokalnym jak i globalnym.

Są to jednakże swobodne interpretacje tego prawa. Nasuwa się w tym miejscu pytanie czy jest tego naukowe potwierdzenie? Najbardziej odpowiednim zagadnieniem, które mogłoby bardziej szczegółowo tłumaczyć tę dość enigmatyczną sentencję jest pojęcie tzw. fraktali.

Zagadnienie fraktali jest o tyle istotne, o ile okazuje się iż ma niemały związek z… medycyną.

Czym jest fraktal?

Fraktale to obiekty samopodobne, jak właśnie matrioszki. Są to wzory, które w powiększeniu jak i pomniejszeniu wyglądają tak samo i zachowują ten sam poziom szczegółowości.

Fraktale powstały z potrzeby opisu obiektów naturalnych oraz opisu nieznanych wówczas fenomenów matematycznych, gdyż świadomość istnienia w matematyce obiektów takich jak fraktale jest znacznie dłuższa niż data 1975r., w którym to Benoit Mandelbrot dokonał pierwszego spójnego ich opisu i nadał im nazwę fraktali (od słowa fractus- cząstkowy, złamany). Wcześniej matematycy raczej unikali tematu i nie posiadali metodologii opisu nietypowego wyglądu fraktali.

Zatem fraktale istnieją samoistnie w rzeczywistości matematycznej oraz istnieją naturalnie w przyrodzie. Obiekty naturalne, takie jak drzewo, szczyty górskie, sieć rzeczna, linia brzegowa i wiele innych są fraktalami.

Rozwój tematu fraktali można podzielić na dwa wątki: jeden- rozwój teorii fraktali w czystej matematycznej rzeczywistości oraz drugi- stopniowe odkrywanie, iż także obiekty naturalne są fraktalami lub mają fraktalne właściwości. Oba zagadnienia po raz pierwszy połączył wspomniany wcześniej B. Mandelbrot w swoim najważniejszym dziele The Fractal Geometry of Nature– Fraktalna Geometria Przyrody.

Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line.

Benoit Mandelbrot

Zwykliśmy postrzegać kształty poprzez pryzmat brył, wyidealizowanych obiektów takich ja np. kula, stożek, sześcian itp. Ich powierzchnie są gładkie a brzegi równe. W pewnym stopniu i w przybliżeniu są przydatne do opisu obiektów naturalnych, lecz zdecydowanie niewystarczająco. Obiekty naturalne wykazują duży stopień nieregularności, poszarpania i złożoności. Fraktale okazały się być obecnie najbardziej adekwatnym narzędziem służącym do opisu tych struktur.

Fraktale istniejące samoistnie w matematycznej rzeczywistości oznaczają obiekty o nieskończenie złożonej budowie, których brzegi są poszarpane i rozbudowane. Już sama nieskończenie złożona budowa odróżnia je od klasycznych obiektów geometrycznych i oznacza, iż przyglądając się dowolnej części fraktala, w dowolnie małej czy dużej części, zaobserwujemy obiekt o takiej samej nieskończonej złożoności szczegółów. Fraktala nie można rozłożyć na proste, pozbawione szczegółowości części. Można powiedzieć, że fraktale nie mają najniższego poziomu złożoności, na każdym poziomie wykazują tak samo skomplikowaną budowę, nie tracąc jej nawet w wielokrotnym pomniejszeniu czy powiększeniu. Cecha ta jest związana z najbardziej charakterystycznym zjawiskiem jakie wykazują fraktale jaką jest samopodobieństwo. Fraktale to obiekty samopodobne. Oznacza to, że każda część fraktala ma budowę taką samą lub przypominającą całość. I znowu powiększając/pomniejszając w nieskończoność fraktalny obiekt nie tylko uzyskujemy obraz o takiej samej złożoności, ale także podobny jak w punkcie wyjściowym. Samopodobieństwo fraktali jest także blisko powiązane z cechą niezależności od skali (tzw. scale invariance/scale-free), która oznacza, iż obiekty albo ich zachowanie nie zmienia się wraz ze zmianą skal różnych zmiennych. Oprócz samopodobieństwa, najbardziej istotnymi cechami fraktala jest wymiar fraktalny (omówienie-wymiar fraktalny) oraz procedura iteracyjna, która w skrócie oznacza wielokrotne powtarzanie tej samej operacji matematycznej przy czym wynik równania staje się substratem dla następnej.

Spójrzmy w tym momencie na animację ukazującą fraktal, mając przy tym w świadomości, że za obrazem tym stoi prosta formuła matematyczna: z=z²+ c poddana procesowi iteracji. Jest to także właśnie istotą fraktali- proste wzory dające nieskończenie złożone rezultaty i samopodobieństwo (lub przybliżone samopodobieństwo) Poniżej znajdą się inne przykłady matematycznych fraktali i grafiki fraktalnej.

Obiekty występujące naturalnie w przyrodzie także są fraktalami. Przejawia się to w budowie chociażby wspomnianego wcześniej drzewa, na tym przykładzie bardzo łatwo zauważyć samopodobieństwo w sposobie rozchodzenia się gałęzi. Podziały na coraz to mniejsze gałęzie przebiegają tak samo jak główne rozgałęzienia. Oczywiście jest to jeden z najprostszych przykładów o niewielkiej złożoności. Bardziej złożoną fraktalną budowę można zaobserwować na jednym z najbardziej popularnych przykładów jakim jest kalafior romaseco. Widzimy w nim zarówno samopodobieństwo jak i zachowanie tego samego stopnia złożoności w coraz to mniejszych gałązkach. Stale powiększa się lista obiektów, które okazują się być fraktalami. Co istotne, fraktalne właściwości nie dotyczą tylko wyglądu struktur ale także procesów zachodzących w czasie.

Dotychczasowe obserwacje dostarczają dowodów na fraktalność naturalnych zjawisk i obiektów takich jak np. (za Wikipedia) sieci rzeczne, pasma górskie, kratery, błyskawice, linie brzegowe, rogi kozicy, drzewa, algi, optyka geometryczna, wzory ubarwień zwierząt, ananas, rytm serca, trzęsienia ziemi, płatki śniegu, synchronizacja pracy mózgu, kryształy, naczynia krwionośne, fale oceanu, DNA, pory gleby, pierścienie Saturna, białka, powierznia turbulentnego przepływu, aktynowy cytoszkielet komórki

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

Wnikając głębiej w temat fraktali należy dodać, iż temat ten jest ściśle związany z zagadnieniem teorii chaosu. Chaos w tym przypadku nie oznacza czegoś całkowicie nieprzewidywalnego i nieokiełznanego. W teorii chaosu w pojęciu matematycznym oznacza on pewne szczególne zachowanie układu. Polega ono na dużej wrażliwości na warunki początkowe, czego konsekwencją jest bardzo duża zmiana zachowania układu w odpowiedzi na wprowadzenie do niego niewielkich zmian. Dotyczy to układów należących do domeny dynamiki nieliniowej. Znane jest to popularnie jako efekt motyla. Oznacza on w przenośni, iż nawet trzepot skrzydeł motyla może wywołać tornado na drugiej stronie globu. I właśnie zjawisko chaosu ma swoje odzwierciedlenie w postaci fraktali, które są obrazami chaosu. Ian Steward w książce Liczby natury w przystępny sposób tłumaczy zagadnienie chaosu. Pochodzący z książki cytat zgrabnie łączy chaos z fraktalami: „Chaos to dynamiczny proces będący przyczyną fraktali.”

Omawiając fraktale występujące w przyrodzie należy zwrócić uwagę na cechę, którą odróżnia je od fraktali generowanych matematycznie. Przyjmuje się, iż naturalne fraktale mają kres swojej złożoności wyznaczony przez ziarnistość materii, budowę składającą się z atomów i cząsteczek. Nie można więc powiększać ich w nieskończoność uzyskując ten sam stopień złożoności i odnajdując samopodobieństwo. Jednak w tym miejscu można by zostawić mimo to tę kwestię dyskusyjną lub otwartą. Wiadomo, iż na przestrzeni czasu odkrywano coraz to nowsze cząsteczki subatomowe (kwarki, leptony, bozony) i mimo ustalonego obecnie obowiązującego modelu standardowego, możliwe że z czasem zostanie on jeszcze bardziej rozbudowany. Przestrzeń atomu jest jedynie w ułamku procenta wypełniona materią, co zatem z samą przestrzenią i jaka jest jej natura? Całkowita próżnia jest stanem tylko teoretycznym, której i tak daleko od nicości. I czy jest to na pewno ostateczny poziom organizacji rzeczywistości? Niestety na te odpowiedzi trzeba będzie zapewne jeszcze przez pewien czas poczekać. Nie mniej jednak z zasobów tego, co już zdążyło się ustalić w temacie fraktali wiele znalazło konkretne zastosowania w szerokim spektrum dziedzin (Wikipedia).

Przeogromny wpływ fraktali odnajdujemy w grafice. Za pomocą odpowiednich programów generujących wyniki fraktalnych algorytmów, możliwe jest tworzenie niezwykle intrygujących animacji, jakich przykłady znajdują się poniżej a także najbardziej realistycznych odwzorowań rzeczywistości. Rola fraktali w sztuce jest także obiektem badań naukowych, gdyż nie tylko dostarcza wrażeń estetycznych ale wydaje się, że ma dobroczynny wpływ na stan psychiczny redukując poziom stresu (Neurophysiological Response to Fractals)

Fraktale stopniowo przechodzą do szerokiej świadomości stanowiąc przede wszystkim ogromny wkład w rozumienie natury rzeczywistości oraz naszej własnej, ludzkiej natury będącej nierozerwalnie jej częścią.